Cho parabol ( P ) : y^2 = 2x . Điểm M ( a ; b ) thuộc parabol ( P ) và cách đường chuẩn của ( P ) một khoảng bằng 2 (trong đó a , b là các số thực). Tính T = a^2 + b^2 .
Giải thích
Phương trình parabol có dạng \({y^2} = {\rm{2}}px\), với \(p > 0\).
Ta có \(\left( P \right):{y^2} = 2x\)\( \Rightarrow p = 1\). Suy ra đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{p}{2} = - \frac{1}{2} \Rightarrow x + \frac{1}{2} = 0\).
Ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}M\left( {a;\,b} \right) \in \left( P \right)\\d\left( {M,\Delta } \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 2a\\\left| {a + \frac{1}{2}} \right| = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 2a\\a + \frac{1}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\{b^2} = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \(T = {a^2} + {b^2} = \frac{{21}}{4}\).