Cho parabol ( P ) : y^2 = 2x . Có bao nhiêu điểm thuộc ( P ) có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm của ( P ) bằng 4.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Parabol \(\left( P \right)\) có đường chuẩn là \(\Delta :x + \frac{1}{2} = 0\) và tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.

Có \(M \in \left( P \right)\) nên \(y_0^2 = 2{x_0} \Rightarrow {x_0} = \frac{1}{2}y_0^2 \Rightarrow {x_0} \ge 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến tiêu điểm \(F\) bằng 4 nên \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{x_0} + \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 4\).

\( \Rightarrow {x_0} = \frac{7}{2}\) hoặc \({x_0} = - \frac{9}{2}\).

Mà \({x_0} \ge 0\) nên \({x_0} = \frac{7}{2}\)\( \Rightarrow y_0^2 = 7 \Rightarrow {y_0} = \pm \sqrt 7 \).

Vậy \(M\left( {\frac{7}{2};\sqrt 7 } \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{7}{2}; - \sqrt 7 } \right)\).