Cho Parabol (P): y=1/2x^2 và đường thẳng (d): y= (m+1)x-m^2-1/2 ( là tham số).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: 

12x2=m+1x−m2−12⇔x2−2m+1x+2m2+1=0    (1)

Để (d)  cắt (P)  tại 2 điểm A(x1;y1),B(x2;y2)  thì  (1) phương trình phải có 2 nghiệm x1,x2

⇔Δ'≥0⇔m+12−2m2−1=2m−m2≥0⇔0≤m≤2.

Vậy với 0≤m≤2  thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P)  tại hai điểm A(x1;y1),B(x2;y2) .

Theo định lý Viet, ta có: x1+x2=2m+1x1x2=2m2+1

Khi đó: y1=(m+1)x1−m2−12;y1=(m+1)x2−m2−12.

Ta có: T=y1+y2−x1x2−(x1+x2)     =m+1x1+x2−2m2−1−x1x2−(x1+x2)     =2m+12−4m2−2−2(m+1)=−2m2+2m−2 .

Bài toán trở thành tìm giá trị của tham số m để hàm số:T(m)=−2m2+2m−2 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn .

Ta có bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của T=−6đạt được khi m=2.