Cho parabol (P): (y = {x^2)và đường thẳng (d) : y = ( 2-2m ) x+ m

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \left( {2 - 2m} \right)x + m\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 - 2m} \right)x - m = 0\,\,\left( 1 \right)\\\Delta  = {\left( {2 - 2m} \right)^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = 4{m^2} - 4m + 4 = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 3 > 0\,\,\forall m\end{array}\)

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m.

Với mọi m, theo định lý Vi-et ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2 - 2m\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} =  - m\end{array} \right.\)

Vì  \(M\left( {\frac{1}{2};1} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng AB nên \(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{2 - 2m}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Thay \(m = \frac{1}{2}\) vào (1) ta có phương trình: \({x^2} - x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow y = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow y = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right),B\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Vì H, K là hình chiếu của A, B lên trục hoành nên \( \Rightarrow H\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2};0} \right),K\left( {\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2};0} \right)\)

\( \Rightarrow HK = \left| {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right| = \sqrt 3 \).