Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m + 1)x + 2. Có bao nhiêu giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A (x1; y1) và B(x2; y2) sao cho y1 + y2 = 2y1y2?

Đáp án: 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = (m + 1)x + 2 nên x² – (m + 1)x – 2 = 0 (1).

Vì ac = 1(–2) = –2 < 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = m + 1; x₁x₂ = –2.

Vì A (x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thuộc (P): y = x² nên \({\rm{A}}\left( {{{\rm{x}}_1};\;\,{\rm{x}}_1^2} \right)\); \({\rm{B}}\left( {{{\rm{x}}_2};\;\,{\rm{x}}_2^2} \right)\).

Vì y₁ + y₂ = 2y₁y₂ nên \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = 2{\rm{x}}_1^2{\rm{x}}_2^2\) suy ra (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ – 2(x₁x₂)² = 0 (*).

Thay x₁ + x₂ = m + 1; x₁x₂ = –2 vào (*) ta có:

(m + 1)² – 2(–2) – 2(–2)² = 0

(m + 1)² = 4

m + 1 = 2 hoặc m + 1 = –2

m = 1 hoặc m = –3.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.