Cho parabol (P) : \(y = {x^2}\) và đường thẳng

a) Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;3} \right)\).

\(\left( d \right):y = \left( {2m - 3} \right)x + 3m - 5\) đi qua \(A\left( { - 2;3} \right)\)

                          \( \Leftrightarrow A \in \left( d \right) \Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right).\left( { - 2} \right) + 3m - 5 = 3 \Leftrightarrow  - 4m + 6 + 3m - 5 - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - m = 2 \Leftrightarrow m =  - 2\).

b) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với parabol \(\left( P \right).\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\):

\({x^2} = \left( {2m - 3} \right)x + 3m - 5 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m - 3} \right)x - 3m + 5 = 0\)   (*)

\(\left( d \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right) \Leftrightarrow \) phương trình (*) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0\)

   \( \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {2m - 3} \right)} \right]^2} - 4\left( { - 3m + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 + 12m - 20 = 0\)

                    \( \Leftrightarrow 4{m^2} = 11 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{{\sqrt {11} }}{2}\)