Cho parabol ( P ) : y = x^2 − 4x + 3 và đường thẳng d : y = mx + 3 . Tìm tất cả các giá trị thực của m để d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác OAB

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \({x^2} - 4x + 3 = mx + 3\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - \left( {m + 4} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = m + 4\end{array} \right.\).

Để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\;B\) khi và chỉ khi \(4 + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 4\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 3\;\; \Rightarrow \;\;A\left( {0;3} \right) \in Oy\).

Với \(x = 4 + m \Rightarrow y = {m^2} + 4m + 3\;\; \Rightarrow \;\;B\left( {4 + m;{m^2} + 4m + 3} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(OA\). Suy ra \(BH = \left| {{x_B}} \right| = \left| {4 + m} \right|\).

Theo giả thiết bài toán, ta có \[{S_{\Delta OAB}} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}OA.BH = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3.\left| {m + 4} \right| = \frac{9}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left| {m + 4} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 7\end{array} \right.\).