Cho parabol (P): y = ax^2 (a khác 0) đi qua điểm A(2; 4) và đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3; cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 6. Tìm số điểm chung của parabol

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Vì parabol (P) đi qua điểm A(2; 4) nên 4 = a.2² nên a = 1 (thỏa mãn). Suy ra (P): y = x².

Vì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên 3 = 0.a + b, suy ra b = 3. Do đó, (d): y = ax + 3.

Vì (d): y = ax + 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 6 nên 0 = a.6 + 3, suy ra \({\rm{a}} = \frac{{ - 1}}{2}.\) Suy ra (d): \({\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{x}} + 3.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): \({{\rm{x}}^2} = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{x}} + 3\), suy ra 2x² + x – 6 = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Vì \(\Delta\) = 1² – 4.2.(–6) = 49 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung.