Cho parabol (P): y = 3x^2 và đường thẳng y = (m – 1)x + 4 – m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng các hoành độ bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

3x² = (m – 1)x + 4 – m hay 3x² – (m – 1)x – 4 + m = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Ta có: \(\Delta\) = [–(m – 1)]² – 4.3.(–4 + m) = m² – 14m + 49 = (m – 7)².   

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra \(\Delta\) = (m – 7)² > 0, suy ra m – 7 \(\neq\) 0 nên m \(\neq\) 7 (*).

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left[ { - \left( {{\rm{m}} - 1} \right)} \right] + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 7} \right)}^2}} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{ - 4 + {\rm{m}}}}{3};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left[ { - \left( {{\rm{m}} - 1} \right)} \right] - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 7} \right)}^2}} }}{{2 \cdot 3}} = 1.\)

Vì tổng các hoành độ bằng 5 nên ta có: \(\frac{{ - 4 + {\rm{m}}}}{3} + 1 = 5\) nên m = 16 (thỏa mãn (*)).

Vậy m = 16.