Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = 2mx – m + 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2| = 1. Khi đó:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

2x² = 2mx – m + 1, suy ra 2x² – 2mx + m – 1 = 0 (1).

Ta có: \(\Delta\)’ = (–m)² – 2(m – 1) = m² – 2m + 2 = (m – 1)² + 1 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Sai.

Phương trình (1) có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right)}}{2} = {\rm{m}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{2}\) (định lý Viète).

Vậy \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = {\rm{m}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{2}\)

c) Sai.

|x₁ – x₂| = 1

(x₁ – x₂)² = 1

(x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 1 (2).

Thay \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = {\rm{m}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{2}\) vào (2) ta có:

\({{\rm{m}}^2} - 4 \cdot \frac{{{\rm{m}} - 1}}{2} = 1\)

m² – 2m + 2 = 1

m² – 2m + 1 = 0

(m – 1)² = 0

m = 1.

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Đúng.

Thay m = 1 vào (1) ta có: 2x² – 2.1.x + 1 – 1 = 0 suy ra 2x² – 2x = 0 nên x(x – 1) = 0, suy ra x = 0 hoặc x = 1.

Vậy hai giao điểm của (d) và (P) có hoành độ bằng 1 và 0.