Cho parabol (P): y = 1/4x^2. Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Hướng dẫn giải

Ta có: MF = x2+y-12.

d(M, ∆) = y+102+12=y+1.

+) Giả sử MF = d(M, ∆), ta cần chứng minh M(x; y) thuộc (P).

Thật vậy, MF = d(M, ∆) ⇔x2+y-12=y+1

Bình phương cả hai vế của phương trình trên ta được:

x² + (y – 1)² = (y + 1)²

⇔ x² – 4y = 0 ⇔ y = 1/4x².

Vậy M thuộc (P).

+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta cần chứng minh MF = d(M, Δ).

M(x; y) thuộc (P) nên y = 1/4x² hay x² = 4y, thay vào biểu thức tính MF ta có:

MF = x2+y-12=4y+y-12=4y+y2-2y+1

= y2+2y+1=y+12=y+1 = d(M, ∆).

Vậy MF = d(M, Δ).