Cho parabol (P) y = 1/2x^2 và đường thẳng (d): y = -x + m (x là ẩn, m tham số).

a. Khi m = 4, đường thẳng (d) có dạng: y = -x + 4.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 12x2=−x+4⇔x2+2x−8=0 (1)

PT (1) có Δ'=1+8=9⇒Δ'=3

PT (1) có hai nghiệm phân biệt : x1=−1−3=−4x2=−1+3=2

Với x1=−4⇒y1=12.−42=8

Với x2=2⇒y2=12.22=2

Vậy, khi m = 4 thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là (-4; 8) và (2; 2)

b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 12x2=−x+m⇔x2+2x−2m=0 (2)

PT (2) có Δ'=1+2m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì PT (2) phải có hai nghiệm phân biệt.

hay Δ'=1+2m>0⇔m>−12 (*)

Với ĐK (*) , gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của PT (2).

Áp dụng định lí Viets, ta có : x1+x2=−2x1x2=−2m (3)

Với x=x1⇒y1=−x1+m

Với x=x2⇒y2=−x2+m

Xét biểu thức : x1x2+y1y2=5⇔x1x2+−x1+m−x2+m=5

⇔x1x2+x1x2−mx1+x2+m2=5⇔2x1x2−mx1+x2+m2=5 (4)

Thay (3) vào (4), ta được : 2−2m−m−2+m2=5⇔m2−2m−5=0⇔m=1+6   (t/m  (*))m=1−6   (Loaïi)

Vậy, với m=1+6 thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.