Cho parabol (P): y =1/2x^2 và đường thẳng (d): y = 2x – m. Có bao nhiêu giá trị m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) sao cho x1x2(y1 + y2)

Đáp án: 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): \(\frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} = 2{\rm{x}} - {\rm{m}}\) nên x² – 4x + 2m = 0 (1).

Ta có: \(\Delta\)’ = (–2)² – 1.2m = 4 – 2m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.Suy ra \(\Delta\)’ = 4 – 2m > 0 nên m < 2 (*).

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 4; x₁x₂ = 2m.

Vì A (x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thuộc (P): y = x² nên \({\rm{A}}\left( {{{\rm{x}}_1};\;\,\frac{1}{2}{\rm{x}}_1^2} \right)\); \({\rm{B}}\left( {{{\rm{x}}_2};\;\,\frac{1}{2}{\rm{x}}_2^2} \right)\).

Vì x₁x₂(y₁ + y₂) = –20 nên \(\frac{1}{2}{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right) = -20\) suy ra x₁x₂[(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂] = –40 (*).

Thay x₁ + x₂ = 4; x₁x₂ = 2m vào (*) ta có:

2m(4² – 2.2m) = –40

16m – 4m² = –20

m² – 4m – 5 = 0

m² + m – 5m – 5 = 0

m(m + 1) – 5(m + 1) = 0

(m + 1)(m – 5) = 0

m + 1 = 0 hoặc m – 5 = 0

m = –1 (thỏa mãn (*)) hoặc m = 5 (không thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.