Cho P = xyz + x^2 y^2 z^2 + x^3 y^3 z^3 + . . . + x^2020 y^2020 z^2020. Tính giá trị của P khi biết x = 1; y = 1; z = − 1

Lời giải

Đáp án: 0

Ta có: \(P = xyz + {x^2}{y^2}{z^2} + {x^3}{y^3}{z^3} + ... + {x^{2019}}{y^{2019}}{z^{2019}} + {x^{2020}}{y^{2020}}{z^{2020}}\).

Thay \(x = 1;y = 1;z = - 1,\) ta được:

\(P = 1 \cdot 1 \cdot \left( { - 1} \right) + {1^2} \cdot {1^2} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + {1^3}{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^3} + ... + {1^{2019}} \cdot {1^{2019}} \cdot {\left( { - 1} \right)^{2019}} + {1^{2020}} \cdot {1^{2020}} \cdot {\left( { - 1} \right)^{2020}}\)

\(P = - 1 + 1 + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right) + 1\)

Nhận thấy đa thức \(P\) chứa 2020 hạng tử, trong đó có \(1010\) hạng tử mũ chẵn và \(1010\) hạng tử mũ lẻ.

Do đó, \(P = - 1 + 1 + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right) + 1\) có 1010 số hạng \( - 1\) và 1010 số hạng 1.

Suy ra \(P = - 1 + 1 + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right) + 1 = - 1 \cdot 1010 + 1 \cdot 1010 = - 1010 + 1010 = 0\).

Vậy với \(x = 1;y = 1;z = - 1\) thì \(P = 0.\)