Cho p là một số nguyên tố. a) Chứng minh nếu p lẻ và tồn tại số nguyên x sao cho

a) Vì p là SNT lẻ nên p chỉ có 1 trong 2 dạng:

              4k + 1  hoặc  4k + 3

Vì (x2 + 1) \( \vdots \;\)p nên p có dạng 4x + 1, hay p – 1 = 4k \( \vdots \) 4.

b) Tồn tại STN x sao cho 2023p + 23p – 24 = x2

                             \( \Leftrightarrow \) x2 + 1 = 2023p + 23p – 23

Theo Fermat nhỏ, ta có 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)

=> 2023p + 23p – 23 \( \equiv \) 0 (mod p)

=> x2 + 1\( \equiv \) 0 (mod p) => p = 4k + 1

=> 2023p + 23p – 24 \( \equiv \;\)-p + (-1)p \( \equiv \) 2 (mod 4)

Mà x2 \( \equiv \) 0,1 (mod 4), mâu thuẫn

Vậy 2023p + 23p – 24 không là số chính phương.