Cho P = B : A . Tìm các giá trị x là số thực để P nhận là một số chính phương

Ta có: \(P = B:A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}:\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 9}}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\,\, \cdot \,\,\frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  + 2}}\)\( = 1 + \frac{7}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vì \(7 > 0\), \(\sqrt x  + 2 > 0\) nên \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} > 0\).

Do \(\sqrt x  \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 2 \ge 2\), suy ra \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{7}{2}\)

Do đó \(0 < \frac{7}{{\sqrt x  + 2}} \le \frac{7}{2}\), suy ra \(1 < \frac{7}{{\sqrt x  + 2}} + 1 \le \frac{7}{2} + 1\) hay \(1 < P < \frac{9}{2}\).

Mà \(P\) là số chính phương nên \(P = 4\).

Với \(P = 4\), ta có \(\frac{7}{{\sqrt x  + 2}} = 3\)

                           \(\sqrt x  + 2 = \frac{7}{3}\)

                                   \(x = \frac{1}{9}\) (thỏa mãn điều kiện).

            Vậy \(x = \frac{1}{9}\)thì thoả mãn đề bài.