Cho P = A . B . Tìm các giá trị nguyên của x để P ≤ 6 .

Có \[A = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}(x > 0,x \ne 4)\] 

\[P = A.B\]

\[P = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\]

\[P = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}}\]

Để \[P \le 6\] thì \[\frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}} \le 6\]

        \[\frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}} - 6 \le 0\]         

        \[\frac{{x - 3 - 6(\sqrt x  - 2)}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\]

        \[\frac{{x - 3 - 6\sqrt x  + 12}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\]

        \[\frac{{x - 6\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\]

        \[\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\]

TH1: \[\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 2}} = 0\]

        \[{\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} = 0\]

        \[\sqrt x  - 3 = 0\]

        \[\sqrt x  = 3\]

        \[x = 9\] (TMĐK)

TH2: \[\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 2}} < 0\]

Mà \[{\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} \ge 0,\forall x\] TMĐKXĐ

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2} > 0}\\{\sqrt x  - 2 < 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x  - 3 \ne 0}\\{\sqrt x  < 2}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x  \ne 3}\\{x < 4}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 9}\\{x < 4}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow x < 4\] mà \[x > 0,x \ne 4\] và \[x\] là số nguyên \[ \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \]

Vậy để \[P \le 6\] thì \[x \in \{ 1;2;3;9\} \]