Cho (O1 ) , (O2) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm A ,M sao cho

5/8

Cho \(\left( {{O_1}} \right),\,\left( {{O_2}} \right)\) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm \(A,\,M\), sao cho \(\widehat {{O_1}A{O_2}}\) là góc tù. Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_1}} \right)\) cắt \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm thứ hai \(B\) (khác \(A\)). Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) cắt \(\left( {{O_1}} \right)\) tại điểm thứ hai \(D\) (khác \(A\)).

a) Trên cung \(AD\) không chứa \(M\) của \(\left( {{O_1}} \right)\), lấy điểm \(K\), khác \(A\) và \(D\), sao cho đường thẳng \(KM\) cắt cung \(AB\) không chứa \(M\) của \(\left( {{O_2}} \right)\) tại điểm \(L\), khác \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng đường thẳng \(AK\) song song với đường thẳng \(BL\).

b) Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(M\). Chứng minh rằng \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho (O1 ) , (O2) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm A ,M sao cho (ảnh 1)

a)Với giả thuyết \(\widehat {{O_1}A{O_2}}\) là góc tù, ta có thế hình như ở trên.

Xét \(\left( {{O_1}} \right)\), ta có:

\(\widehat {AKM} = \widehat {MAB}\) (góc nọi tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (1)

Xét \(\left( {{O_2}} \right)\), ta có:

\(\widehat {MLB} = \widehat {MAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB không chứa A). (2)

Từ (1) và (2), suy ra, \(\widehat {AKM} = \widehat {MLB}\).

Do đó, \(AK\,{\rm{//}}\,LB\) (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

Cho (O1 ) , (O2) là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm A ,M sao cho (ảnh 2)

b)Xét \(\left( {{O_1}} \right)\) ta có:

\(\widehat {MDA} = \widehat {MAB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM không chứa D). (3)

Xét \(\left( {{O_2}} \right)\) ta có

\(\widehat {MAD} = \widehat {MBA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, góc nội tiếp, cùng chắn cung AM không chứa B) (4)

Từ (3) và (4), suy ra, .

Do đó, \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\); mà \(MC = MA\)(gt), nên \(\frac{{MC}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MC}}\). (5)

Do trong một tam giác, mỗi góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó, nên cộng (3) và (4), vế theo vế, ta được:

\(\widehat {DMC} = \widehat {CMB}\) (6)

Từ (5) và (6), suy ra, .

Do đó, \(\widehat {DCM} = \widehat {CBM}\).

Vì thế, ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {DCB} = \widehat {DCM} + \widehat {MCB} = \widehat {CBM} + \widehat {MCB}\\ = 180^\circ - \widehat {BMC} = 180^\circ - (\widehat {BAM} + \widehat {MBA})\\ = 180^\circ - (\widehat {BAM} + \widehat {MAD})\quad ({\rm{do}}(4))\\ = 180^\circ - \widehat {BAD}\end{array}\)

Suy ra, \(\widehat {BAD} + \widehat {DCB} = 180^\circ \). Do đó, \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.