Cho (O;R). Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn. Đường trung trực của đường kính BC cắt đường thẳng AC tại K. Tính

33/51

Cho $\left( {O\;{\rm{;}}\;R} \right)$. Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến $MA,MB$ đến đường tròn. Đường trung trực của đường kính $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $K$. Tính độ dài đoạn thẳng $MK$.

A. $MK = R\sqrt 3 $.

B. $MK = 2R$.

C. $MK = R$.

D. $MK = R\sqrt 2 $.

Giải thích

Chọn C

$Cho $\left( {O\;{\rm{;}}\;R} \right)$. Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến $MA,MB$ đến đường tròn. Đường trung trực của đường kính $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $K$. Tính (ảnh 1)$

Xét đường tròn $\left( {O\;{\rm{;}}\;R} \right)$ có $MA,\;MB$ là tiếp tuyến

Suy ra $\widehat {BOM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $(1)$

$\Delta OAC$ có \[OA = OC\] suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {OCA}$ (tính chất tam giác cân)

$\widehat {AOB} = \widehat {OCA} + \widehat {OAC}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Nên $\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$ $(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {OCA} = \widehat {BOM}$

Mà $\widehat {OCA}$, $\widehat {BOM}$ ở vị trí đồng vị

Nên $CK\,{\rm{//}}\,OM$ suy ra$\widehat {MOK} = \widehat {CKO}$ (so le trong).

Chứng minh$\left( {O\;{\rm{;}}\;R} \right)$ $\Delta OAM = \Delta OCK$ (c.g.c) suy ra $CK = OM$ (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh $\Delta KMO = \Delta OCK$ (c.g.c) suy ra $\widehat {COK} = \widehat {OKM}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {COK} = 90^\circ $($KO$là trung trực của $BC$) suy ra $\widehat {OKM} = 90^\circ $.

Tứ giác \[{\rm{O}}BMK\] có:

+ $\widehat {MBO} = 90^\circ $ ($MB$ là tiếp tuyến của $\left( {O\;{\rm{;}}\;R} \right)$).

+ $\widehat {BOK} = 90^\circ $($KO$ là trung trực của $BC$).

+ $\widehat {OKM} = 90^\circ $ (cmt).

Do đó $OBMK$ là hình chữ nhật suy ra $MK = OB = R$.