Cho (O;R) đường kính AB cố định. Dây CD vuông góc với AB tại H nằm giữa A và O. Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ. BF cắt CD tại I; AF cắt tia DC tại K.

a) Chứng minh tứ giác AHIF nội tiếp.

Ta có: \[\widehat {{\rm{AFI}}} = {90^o}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).

           \(CD \bot AH\) tại H (giả thiết) và \(I \in CD\) \( \Rightarrow \widehat {AHI} = {90^o}\).

Xét tam giác AFI có \[\widehat {{\rm{AFI}}} = {90^o}\]nên đường tròn đường kính AI ngoại tiếp tam giác AFI hay 3 điểm A,F,I cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AI (1)

 Xét tam giác AHI có \[\widehat {{\rm{AHI}}} = {90^o}\]nên đường tròn đường kính AI ngoại tiếp tam giác AHI hay 3 điểm A, H, I cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AI(2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, F, I, H cùng thuộc đường tròn đường kính AI

Hay tứ giác AHIF nội tiếp .

b) Chứng minh rằng: HA.HB = HI.HK.

Tứ giác AHIF nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {FAH} + \widehat {FIH} = {180^o}\) (Định lý)

Mà \(\widehat {BIH} + \widehat {FIH} = {180^o}\) (hai góc kề bù).

\( \Rightarrow \widehat {FAH} = \widehat {BIH}\) hay \(\widehat {KAH} = \widehat {BIH}\).

Xét \(\Delta HAK\) và \(\Delta HIB\) có

\(\widehat {AHK} = \widehat {IHB}\) (cùng bằng 90o)

\(\widehat {KAH} = \widehat {BIH}\) (cmt)

 

c) Chứng minh E luôn thuộc đường tròn cố định: 

Ta có:  (góc nội tiếp chắn nửa (O))  tại F

             tại H (vì  tại H)

             KH cắt BF tại I.

 I là trực tâm của     (1)

 vuông tại F, nên đường tròn ngoại tiếp  có đường kính là KI.

   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính KI).

  (2)

Từ (1) và (2)  K, E, B thẳng hàng, khi đó  tại E

 hoặc

 E luôn thuộc đường tròn   (đpcm)