Cho ( O ; R ) đường kính AB . Bán kính CO vuông góc với AB , M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC ( M khác A và C ), MB cắt AC tại H . Gọi K là hình chiếu của H trên A

a) Gọi \[I\] là trung điểm của \[HB\]\( \Rightarrow HI = IB = \frac{{HB}}{2}\)

Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính \[AB\] có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta CHB\) vuông, mà  \[CI\] là đường trung tuyến

\( \Rightarrow IC = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (1)

Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính \[AB\] có: \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta KHB\) vuông, mà  \[KI\] là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \( \Rightarrow IC = IK = IH = IB\)

\( \Rightarrow \) Bốn điểm \[C,{\rm{ }}B,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\]cùng thuộc một đường tròn.

b) Có \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn ); \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\) (tứ giác \(CHKB\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {ACK}\)

\( \Rightarrow CA\) là phân giác \(\widehat {MCK}\).

c) Theo giả thiết: \(\frac{{AP.MB}}{{MA}} = R\)\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\)

Xét \(\Delta PAO\) và \(\Delta AMB\) có: \(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\); \(\widehat {PAO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)

 (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {POA} = \widehat {MBA}\) (hai góc tương ứng)

\[ \Rightarrow OP{\rm{ // B}}Q\]

Xét \(\Delta ABQ\) có: \[OP{\rm{ // B}}Q\], \[O\]là trung điểm của AB nên         \[P\]là trung điểm của \[AQ\].

Gọi \[F\]là giao điểm của \[BP\] và \[HK\].

Xét \(\Delta ABP\)có \[FK{\rm{ // }}AP\]nên \[\frac{{FK}}{{AP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]

Xét \(\Delta QBP\)có \[FH{\rm{ // }}QP\]nên \[\frac{{FH}}{{QP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]

Từ đó \(HF = FK\)suy ra \[PB\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng\[HK\].