Cho (O; R) dây MN vuông góc với OA tại trung điểm H của OA. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại

a) ΔOMA có MH⊥OA (MH là đường cao)

H là trung điểm của OA ⇒ MH là đường trung tuyến

⇒ ΔOMA cân đỉnh M.

⇒ MO = MA mà OM = OA ⇒ OM = OA = AM

⇒ ΔOMA đều

Ta có: OM = ON = R

⇒ ΔAMN cân đỉnh O có MN⊥OA = H

⇒ OH ⊥ MN

⇒ OH là đường cao 

⇒ OH cũng là phân giác của MON^(1)

Xét ΔΔ vuông MOB và ΔΔ vuông NOB ta có:

OB chung

OM = ON = R

⇒ ΔMOB = ΔNOB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ MOB^=NOB^

⇒ OB là phân giác MON^ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OA, OB cùng là phân giác MON^

⇒ O, A, B thẳng hàng.

b) OA ⊥ MN và OH ∩ MN = H là trung điểm MN

⇒ ΔBMN có BH ⊥ MN; BH là đường cao và BH là đường trung tuyến

⇒ ΔBMN cân đỉnh B.

⇒ MBO^=90°−MOA^=90°−60°=30°

Suy ra: MBN^=2.MBO^=60°

⇒ΔMBN là tam giác đều.

c) MB = MN = 2MH

Áp dụng định lý Pitago vào Δ vuông MOH ta có:

MH² = AM² – OH² = R² − R22

⇒ MH = R 32

⇒ MB = MN = 2MH = R 3