Cho (O) là đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của (O), trên tia Ax lấy điểm M (M khác A), từ M vẽ tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và

4/6

Cho \[\left( O \right)\] là đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB = 2R.\] Qua \[A\] vẽ tiếp tuyến \[Ax\] của \[\left( O \right),\] trên tia \[Ax\] lấy điểm \[M\] (\[M\] khác \[A\]), từ \[M\] vẽ tiếp tuyến \[MC\] của \[\left( O \right)\] (\[C\] là tiếp điểm). Gọi \[H\] là giao điểm của \[OM\] và \[AC.\] Đường thẳng \[MB\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[D\] (\[D\] nằm giữa \[M\] và \[B\,).\]

a) Chứng minh tứ giác \[MAOC\] nội tiếp.

b) Chứng minh: \[M{C^2} = MH \cdot MO\] và \[\Delta MDH\] đồng dạng với \[\Delta MOB\].

c) Gọi \[K\] là trung điểm đoạn thẳng \[BD.\] Tiếp tuyến tại \[B\] của \[\left( O \right)\] cắt tia \[OK\] tại \[E.\]

Chứng minh: Ba điểm \[A,\,\,C,\,\,E\] thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Chứng minh tứ giác \[MAOC\] nội tiếp.

$Vậy các điểm thuộc parabol \[\left (ảnh 1)$

Xét \[\left( O \right)\] có: \[MA,{\rm{ }}MC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {MAO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \]

Suy ra hai tam giác vuông \[MAO\] và \[MCO\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AO.\]

Do đó, bốn điểm \[M,\,\,C,\,\,A,\,\,O\] thuộc đường tròn đường kính \[AO.\]

Vậy tứ giác \[MAOC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AO.\]

b1) Chứng minh: \[M{C^2} = MH \cdot MO\]

Chứng minh: \[OM \bot AC.\]

Xét \[\Delta MCO\] và \[\Delta MHC\] có:

\[\widehat {CMH}\] chung;

Do đó $Δ M C O ∽ Δ M H C$ (g.g).

Suy ra \[\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}\] (tỉ lệ tương ứng) nên \[M{C^2} = MH \cdot MO\].

b2) Chứng minh: \[\Delta MDH\] đồng dạng với \[\Delta MOB\].

Ta có \[M{C^2} = MH \cdot MO\]. Mà \[MC = MA\] nên \[M{A^2} = MH \cdot MO\] (1)

Chứng minh \[\Delta ADB\] vuông tại \[D\].

Xét \[\Delta MAB\] vuông tại A có \[AD \bot MB\] nên \[M{A^2} = MD \cdot MB\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[MD \cdot MB = MH \cdot MO\].

Chứng minh được $Δ M D H ∽ Δ M O B$ (c.g.c)

c) Gọi \[K\] là trung điểm đoạn thẳng \[BD.\] Tiếp tuyến tại \[B\] của \[\left( O \right)\] cắt tia \[OK\] tại \[E.\] Chứng minh: Ba điểm \[A,\,\,C,\,\,E\] thẳng hàng.

Xét \[\Delta ODB\] cân tại \[O\] có \[OK\] là đường trung tuyến nên \[OK\] cũng là đường cao của \[\Delta ODB\] suy ra \[OK\] vuông góc với BD tại K.

Xét \[\Delta OBE\] vuông tại \[B\] có \[BK \bot OE\] nên \[O{B^2} = OK \cdot OE.\]

Mà \[O{A^2} = OH \cdot OM\] và \[OA = OB = R\].

Suy ra \[OK \cdot OE = OH \cdot OM\] nên \[\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OE}}{{OM}}\].

Do đó $Δ O H E ∽ Δ O K M$ (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {OHE} = \widehat {OKM}\] (hai cạnh tương ứng).

Mà \[\widehat {OKM} = 90^\circ \] nên \[\widehat {OHE} = 90^\circ \] suy ra \[HE\] vuông góc với \[OM\] tại \[H\].

Mà \[AC\] vuông góc với \[OM\] tại \[H\] nên ba điểm \[A,\,\,C,\,\,E\] thẳng hàng.