Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính MN. Trên đoạn thẳng MO lấy điểm P (P khác M và O). Đường thẳng d đi qua P và vuông góc với MNcắt nửa đường tròn (O) tại Q.
a) Xét đường tròn \((O)\), ta có \(\widehat {MAN} = {90^{\rm{o}}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra \(\Delta NAE\) vuông tại \(A\) nên ba điểm \(N,A,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\).
\(d \bot MN\) tại \(P\) nên
Suy ra \(\Delta NPE\) vuông tại \(P\) nên ba điểm \(N,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(N,A,P,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(NE\) hay tứ giác \(NAEP\) nội tiếp đường tròn đường kính \(NE\).
b) Chứng minh được \(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\)
Hoặc chứng minh được \(\widehat {AMK} = \widehat {ANK}\)
Chứng minh \(\widehat {APE} = \widehat {AMK}\)
Xét \(\Delta PNF\) và \(\Delta PEM\) có:
(\(d \bot MN\)).
\(\widehat {PFN} = \widehat {PME}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {PNF}\)\().\)
(g.g)
\( \Rightarrow \frac{{PN}}{{PE}} = \frac{{PF}}{{PM}}\)
\( \Rightarrow PM \cdot PN = PE \cdot PF\) (đpcm).
c)
Chứng minh\(\widehat {APE} = \widehat {ANE}\); \(\widehat {KPE} = \widehat {KME}\) và \(\widehat {KMA} = \widehat {KNA}\) suy ra \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\) hay \(PE\;\)là tia phân giác của góc \(\widehat {KPA}\)
+ Chứng minh \[\widehat {SKM} = \widehat {ANM}\] (do tứ giác \(KMNA\) nội tiếp).
Chứng minh \[\widehat {MKP} = \widehat {MEP} = \widehat {MNA}\]
Suy ra \[\widehat {MNA} = \widehat {SKM} = \widehat {MKP} = \frac{1}{2}\widehat {SKP}\]
Mà \(\widehat {MNA} = \frac{1}{2}\widehat {MOA}\) nên \(\widehat {SKP} = \widehat {MOA}\)
+ \(\widehat {KPE} = \widehat {APE}\)nên \(\widehat {KPS} = \widehat {APO}\)
.
Chứng minh \( \Rightarrow \frac{{PM}}{{PA}} = \frac{{PK}}{{PN}} \Rightarrow PM \cdot PN = PA \cdot PK\)
Suy ra \(PM \cdot PN = PS \cdot PO\).
Mà \(PE \cdot PF = PM \cdot PN\) (câu b)
\( \Rightarrow PE \cdot PF = PS \cdot PO \Rightarrow \frac{{PE}}{{PO}} = \frac{{PS}}{{PF}}\).
Chứng minh được (c.g.c).
\( \Rightarrow \widehat {PSE} = \widehat {PFO}\). Vì nên