Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Quảng Ninh có đáp án
Xem toàn bộ quiz

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn

4/5

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(A\) (\(A\) khác \(B\) và \(C)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Trên cung \(AC\) của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(D\) (\(D\) khác \(A\) và \(C\)), gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BD,\) \(I\)là giao điểm của hai đường thẳng \(AH\) và \(BD\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABHE\) nội tiếp;
b) Chứng minh \(BI \cdot BD = BH \cdot BC\);
c) Chứng minh hai tam giác \(AHE\) và \(ACD\) đồng dạng;
d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).

0/3000 ký tự
Giải thích

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn (ảnh 1)

a) Do \[AH \bot BC\left( {gt} \right);AE \bot BD\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \]
Mà \({\rm{E}},{\rm{H}}\) là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn \({\rm{AD}}\) dưới 2 góc bằng nhau nên \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{B}}\) cùng thuộc một đường tròn.
Hay tứ giác \(ABHE\) nội tiếp (đpcm)
b) Ta có \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\widehat {CBD}\) chung;
\[\widehat {BHI} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow BI \cdot BD = BH \cdot BC\) (đpcm)
c) Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {ABE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AE}}\) )
Mà \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AD}}\) )

\( \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {ACD}\).

Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {HAE = }\widehat {HBE} = \widehat {CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)
Lại có tứ giác \({\rm{ABCD}}\) nội tiếp \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{CD}}\))

\( \Rightarrow \widehat {HAE} = \widehat {CAD}\)

Xét tam giác \({\rm{AHE}}\) và tam giác \({\rm{ACD}}\) có:

\[\widehat {AHE} = \widehat {ACD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[\widehat {HAE} = \widehat {CAD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta \Delta ADC\left( {g \cdot g} \right)\]        \[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{}\\{}&{}\\{}&\;\end{array}\]

d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).