Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By

3/15

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Tìm vị trí điểm C và D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14, biết AB = 4cm

AC = 4cm; BD = 1cm hoặc AC = 1cm; BD = 4cm

AC = 4cm; BD = 1cm

AC = 3cm; BD = 2cm hoặc AC = 2cm; BD = 3cm

AC = 3cm; BD = 1cm hoặc AC = 1cm; BD = 3cm

Giải thích

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của CD

Suy ra I là tâm của đường tròn đường kính CD

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM và BD = DM

Xét tứ giác ABDC có: AC // BD ⇒ ABDC là hình thang

⇒ IO là đường trung bình của hình thang ABDC

⇒ IO // AC // BD mà AC ⊥ AB ⇒ IO ⊥ AB (1)

IO =AC+BD2=CM+DM2=CD2 (2)

Suy ra tam giác COD vuông tại O

CABDC = 14 ⇔AB + 2CD=14 ⇒CD=14−AB2=14−42= 5cm

Lại có: CD = CM + DM = AC + BD AC = CD – BD = 5 – BD

Mà tam giác COD vuông tại O

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông COD ta có:

OM2 = CM . DM⇔22 = AC . BD⇔AC . BD = 4⇔(5 – BD). BD = 4

⇔ 5BD – BD2 = 4⇔BD2 – 5BD + 4 = 0⇔BD2 – BD – 4BD + 4 = 0

⇔ BD (BD – 1) – 4(BD – 1) = 0 ⇔ (BD – 1) (BD – 4) = 0

⇔BD−1=0BD−4=0⇔BD=1⇒AC=4BD=4⇒AC=1

Vậy với AC = 4cm; BD = 1cm hoặc AC = 1cm; BD = 4cm thì chu vi của hình thang ABDC bằng 14