Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung

5/6

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $AB$, $E$ là điểm trên cung $AM$ ($E$ khác $A$ và $M$). Lấy điểm $F$ trên đoạn $BE$ sao cho $BF = AE$. Gọi $K$ là giao điểm của $MO$ và $BE$.

a) Chứng minh rằng $EAOK$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \[\Delta EMF\] vuông cân.

c) Hai đường thẳng $AE$ và $OM$ cắt nhau tại $D$. Chứng minh rằng $MK.ED = MD.EK$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hình vẽ

$Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung (ảnh 1)$

a)Ta có: $\widehat {AEK} = \widehat {AEB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), $\widehat {AOK} = \widehat {AOM} = 90^\circ $ ($M$ là điểm chính giữa của cung $AB$).

$\widehat {AEK} + \widehat {AOK} = 180^\circ $ nên $EAOK$ là tứ giác nội tiếp.

b)Xét $\Delta AEM$ và $\Delta BFM$ có:

$AE = BF$ (giả thiết), $AM = BM$ (giả thiết), $\widehat {EAM} = \widehat {MBF}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $EM$)

$ \Rightarrow \Delta AEM = \Delta BFM$ (c-g-c)$ \Rightarrow EM = FM$$ \Rightarrow \Delta MEF$ cân tại $M$

Mặt khác $\widehat {MEF} = \widehat {MEB} = \frac{1}{2}\widehat {MOB} = 45^\circ $

$ \Rightarrow \Delta MEF$ vuông cân tại $M$.

c)Ta có: $\widehat {MEF} = 45^\circ $ ($\Delta MEF$ vuông cân tại $M$), mà $\widehat {KED} = \widehat {KEA} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \widehat {DEM} = 45^\circ $

$ \Rightarrow EM$ là phân giác của $\widehat {DEK}$

$ \Rightarrow \frac{{MK}}{{EK}} = \frac{{MD}}{{ED}}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)$ \Rightarrow MK.ED = MD.EK$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Đắk Lắk có đáp án

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung