Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C
Giải thích
a) Ta có: AMB^ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra AM ⊥ MB suy ra DMA^= 90°
Ta cũng có DCA^= 90° ( DC ⊥ AB).
Xét tứ giác ADMC có: AMB^ = 90° và DCA^= 90°
Do đó tứ giác ADMC nội tiếp.
Vậy các điểm A; C; M; D cùng thuộc một đường tròn.
b) Xét ∆ACK và ∆DCB có:
KAC^=CDB^(tứ giác ADMC nội tiếp)
ACK^=DCB^= 90° (DC ⊥ AB)
Suy ra ∆ACK đồng dạng ∆DCB (g.g)
Từ đó suy ra CACD=CKCB⇔ CK.CD = CA.CB (đpcm)
c) Xét tam giác DAB có:
AM ⊥ DB (chứng minh trên)
DC ⊥ AB (giả thiết)
Mà DC cắt AM tại K
Suy ra K là giao điểm của hai đường cao trong tam giác DAB suy ra K là trực tâm của tam giác DAB
Ta cũng có ANB^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra BN ⊥ AD
Suy ra BN cũng là đường cao của tam giác DAC suy ra BN đi qua K
Dẫn đến 3 điểm B, N, K thẳng hàng.