Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. C là điểm

a, ∠ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FCE = 900

∠ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FDE = 900

Xét tứ giác CEDF có:

∠FCE = 900

∠FDE = 900

=> ∠FCE + ∠FDE = 1800

=> Tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp

b, Xét ΔAFD và ΔBFC có:

∠AFB là góc chung

∠ADF = ∠BCF = 900

=> ΔAFD ∼ ΔBFC

=> FAFB = FDFC

=> FA.FC = FB.FD

c, Do ∠FCE = 900. Nên FE là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Do đó trung điểm I của FE là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Tam giác CFI có IC = IF => ΔCFI cân tại I

=> CFI = ∠FCI

Tứ giác CEDF nội tiếp =>∠CFI = CDE (2 góc nội tiếp cùng chắn EC⏜)

Tứ giác ACDB nội tiếp =>∠CDE = ∠CBA(2 góc nội tiếp cùng chắn AC⏜)

ΔAOB cân tại O =>∠BCO = ∠CBA

=> ∠FCI = ∠BCO

=> ∠FCI + ∠ECI = ∠BCO + ∠ECI <=> ∠FCE = ∠ICO

=> ∠ICO = 900

Vậy IC là tiếp tuyến của (O)

d, Chứng minh tương tự câu c, ta có ∠IDO) = 900

Xét tứ giác ICOD có:

∠ICO = ∠IDO = ∠COD = 90^o

=> Tứ giác ICOD là hình chữ nhật

Lại có OC = OD = R

=> Tứ giác ICOD là hình vuông.

Có OI là đường chéo hình vuông cạnh R

=> OI = R2

O cố định, do đó I thuộc đường tròn tâm O, bán kính R2 cố định