Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2 R . Từ A kẻ tiếp tuyến Ax , P ∈ Ax sao cho AP > R . Từ P kẻ tiếp tuyến PM với ( O ) tại M .

Hướng dẫn giải

a) Có \[AP\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[A\] nên \[AP \bot AO\].

         \[MP\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[M\] nên \[PM \bot MO\].

Tam giác \[APO\] vuông tại \[A\] nên ba điểm \[A,\,P,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[PO\]. (1)

Tam giác \[POM\] vuông tại \[M\] nên ba điểm \[M,\,P,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[PO\]. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[A,\,P,\,M,\,O\] cùng thuộc một đường tròn đường kính \[PO\].

b) Trong \[\left( O \right)\] có tam giác \[AMB\] có \[OA = OB = OM = \frac{1}{2}AB\] nên tam giác \[AMB\] vuông tại \[M\].

Do đó, \[\widehat {AMB} = 90^\circ \] hay \[AM \bot MB.\] (*)

Mà xét \[\Delta PAO\] và \[\Delta PMO\] có: \[AO = OM = R\] và \[PO\] chung.

Do đó, \[\Delta PAO = \Delta PMO\] (ch – cgv).

Suy ra \[PA = PM\] và \[AO = AM\] (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \[PO\] là đường trung trực của \[AM\].

Suy ra \[AM \bot PO\]. (**)

Từ (*) và (**), có \[PO\parallel NB\] nên \[\widehat {AOP} = \widehat {OBN}\] (so le trong)

Xét \[\Delta PAO\] và \[\Delta NOB\] có:

\[AO = OB = R\] (gt)

\[\widehat {PAO} = \widehat {OBN}\] (so le trong)

Do đó, \[\Delta PAO = \Delta NOB\] (cgv – gn)

Suy ra \[PO = NB\] (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác \[OBNP\] có: \[PO = NB\] và \[PO\parallel NB\] nên \[OBNP\] là hình bình hành.

Suy ra \[PN\parallel OB\].

Mà \[ON \bot OB\] nên \[ON \bot PN\] do đó \[\widehat {PNO} = 90^\circ \].

Có \[\Delta MOA\] cân tại \[O\] (vì \[OA = OM\]) nên \[\widehat {OAM} = \widehat {AMO}\] (3).

Có \[\widehat {AMO} = \widehat {PMN}\] (cùng phụ với \[\widehat {AMP}\]) (4)

Và \[\widehat {MAO} = \widehat {PON}\] (cùng phụ với \[\widehat {POA}\]) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra \[\widehat {PMN} = \widehat {PON}\].

Mà \[\widehat {PMN} = \widehat {MPO}\] (vì \[MN\parallel PO\])

Suy ra \[\widehat {OPM} = \widehat {PON}\] hay \[\widehat {POI} = \widehat {IPO}\].

Vậy \[\Delta OPI\] cân tại \[I.\]

c) Xét tứ giác \[APNO\] có \[\widehat {PAO} = \widehat {AON} = \widehat {PNO} = 90^\circ \]

Suy ra \[APNO\] là hình chữ nhật.

Mà \[PO \cap AN = K\] nên \[K\] là trung điểm của \[PO.\]

Xét \[\Delta POI\] cân tại \[I:\] có \[K\] là trung điểm \[PO\] nên \[IK\] là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, \[IK \bot PO.\]

Xét \[\Delta JPO\] có \[ON \bot PJ,\,\,PM \bot OJ,\,\,ON \cap PM = I\] nên \[I\] là trực tâm của \[\Delta JPO\].

Suy ra \[IJ \bot PO\].

Từ đây suy ra \[I,\,J,\,K\] thẳng hàng.