Cho nửa đường tròn tâm O đường kính A B. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

a) Xét đường tròn (O) đường kính có C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC nên

⦁ sđAC⏜=sđBC⏜=12sđAB⏜=12⋅180°=90°;

⦁sđCD⏜=sđAD⏜=12sđAC⏜=12⋅90°=45°.

Do đó    BAC^=12sđBC⏜=12⋅90°=45°;COD^=sđCD⏜=45°;ABC^=12sđAC⏜=12⋅90°=45°;AOC^=sđAC⏜=90°.

Xét ∆AOC cân tại O (do OA = OC) có AOC^=90° nên ∆AOC vuông cân tại O, suy ra ACO^=45°.

Vậy BAC^=COD^=ABC^=ACO^=45°.

b) Do M thuộc cung nhỏ CD nên sđAM⏜=sđAD⏜+sđDM⏜=45°+sđDM⏜>45° và sđCM⏜<sđCD⏜=45°.

Suy ra sđAM⏜>sđCM⏜  1

Mà ACM^,  CAM^ lần lượt là góc nội tiếp chắn cung AM và cung CM của đường tròn (O) nên ACM^=12sđAM⏜,  CAM^=12sđCM⏜   2

Từ (1) và (2) suy ra ACM^>CAM^.

Tam giác ACM có ACM^>CAM^ nên AM>CM.

Xét đường tròn (O), ta có: COM^=2CAM^ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CM).

c)

Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC với OM và OD, kẻ MN vuông góc với AC tại N.

Diện tích của tam giác MAC là: S=12⋅AC⋅MN.

Do đó S lớn nhất khi MN lớn nhất do AC không đổi.

Tam giác OAC cân tại O có OD là đường phân giác nên đồng thời là đường cao của tam giác, do đó OK ≤ OI.

Ta cũng có MN ≤ MI

Suy ra: OK + MN ≤ OI + MI = OM và OM = OD = OK + DK

Do đó MN ≤ DK.

Do DK không đổi nên MN lớn nhất khi MN = DK hay M là điểm chính giữa của cung AC.

Vậy diện tích của tam giác MAC lớn nhất bằng 12⋅AC⋅DK khi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.