Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Từ điểm M bất kì trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AC.
a) Vì \(Ax\) là tiếp tuyến của \((O) \Rightarrow Ax \bot AB\).
\( \Rightarrow \Delta AMO\) vuông tại \(A \Rightarrow A,M,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\) \((1)\).
Vì \(MC\) là tiếp tuyến của \((O) \Rightarrow MC \bot OC \Rightarrow \Delta MOC\) vuông tại \(C\).
\( \Rightarrow M,C,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\) \((2)\).
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow A,M,C,O\) cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
b) Vì \(AM\) và \(MC\) là hai tiếp tuyến của \((O)\) cắt nhau tại \(M\)\( \Rightarrow AM = MC\).
Mà \(AO = OC( = R)\)\( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của \(AC\)\( \Rightarrow OM \bot AC\).
Lại có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AC \bot BC\) nên \(OM\,{\rm{//}}\,BC\) (đpcm).
Xét \(\Delta AOI\) và \(\Delta MOA\) có: \(\widehat {AOM}\) chung; \(\widehat {AIO} = \widehat {MAO} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
\( \Rightarrow \frac{{OI}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}} \Rightarrow OI \cdot OM = O{A^2} = {R^2}\) (đpcm).
c) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\).
Ta có: \(\widehat {NAC} + \widehat {ANC} = 90^\circ \) (\(\Delta ACN\) vuông tại \(C\) vì \(AC \bot BC\)).
\(\widehat {MCN} + \widehat {MCA} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACN} = 90^\circ \)).
Mà \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\) (\(\Delta MAC\) cân tại \(M\) do \(MA = MC\)) nên \(\widehat {ANC} = \widehat {MCN}.\)
\( \Rightarrow \Delta MCN\) cân tại \(M \Rightarrow MN = MC.\)
Mà \(MC = MA \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AN.\)
Vì \(CH \bot AB\) (gt) mà \(MA \bot AB\) (cmt) nên \(CH\,{\rm{//}}\,AM.\)
Áp dụng hệ quả định lý Thalès, ta có: \(\frac{{CK}}{{MN}} = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{{KH}}{{AM}}.\)
Mà \(MN = AM \Rightarrow CK = KH\) nên \(K\) là trung điểm của \(CH\) (đpcm).