Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy một điểm D (D khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại A và D cắt nhau ở C.

1)

1,0 đ

a) Vì \[CA\]là hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\]nên \[CA \bot OA\]

Do đó\[\Delta OAC\] vuông tại A nên \[\Delta OAC\]nội tiếp đường tròn đường kính CO

0,25

 Vì \[CD\]là hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\]nên \[CD \bot OD\]

Do đó \[\Delta OCD\]vuông tại D nên \[\Delta OCD\]nội tiếp đường tròn đường kính CO

Suy ra 4 điểm: \[A,C,D,O\]cùng thuộc 1 đường tròn đường kính CO

0,25

+ \[\widehat {AEB} = {90^0}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên \(EA \bot BC\) do đó \(\widehat {AEC} = {90^0}.\)

0,25

+ Chứng minh \[\Delta ACE\]đồng dạng \[BAE\](g.g) suy ra \[A{E^2} = BE.EC\]

0,25

2)

0,5

b) Gọi J là giao điểm của CB và DF; Q là giao điểm của BD và AC

Chứng minh được: CA = CQ (= CD)

0,25

Chứng minh được \(\frac{{DJ}}{{CQ}} = \frac{{JF}}{{CA}}\,\,\,\,\left( { = \frac{{BI}}{{BC}}} \right)\)

Từ đó suy ra được DJ = JF

Mà D, J, F thẳng hàng nên J là trung điểm của DF suy ra J trùng với I

Vậy ba điểm B, I, C thẳng hàng.

0,25