Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, điểm C di chuyển trên nửa đường tròn, khi đó tổng hai dây cung CA + CB lớn nhất là bao nhiêu?

15/62

Cho nửa đường tròn \(\left( {{\rm{O}}\,{\rm{;}}\,{\rm{R}}} \right)\) đường kính \(AB\), điểm \(C\) di chuyển trên nửa đường tròn, khi đó tổng hai dây cung \(CA + CB\) lớn nhất là bao nhiêu?

\(3\sqrt 2 R\).

\(2\sqrt 2 R\).

\(2R\).

\(\sqrt 3 R\).

Giải thích

Chọn B

. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, điểm C di chuyển trên nửa đường tròn, khi đó tổng hai dây cung CA + CB lớn nhất là bao nhiêu? (ảnh 1)

Điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \). Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(ACB\), ta có

\(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2}\)

Mặt khác, theo bất đẳng thức bunhiacopxki

\(2A{B^2} = \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {C{A^2} + C{B^2}} \right) \ge {\left( {CA + CB} \right)^2}\)

\( \Rightarrow CA + CB \le AB.\sqrt 2 \Rightarrow CA + CB \le 2\sqrt 2 .R\)

Dấu \(' = '\) xảy ra khi \(CA = CB\), hay \(C\) là điểm chính giữa của .

\( \Rightarrow {\left( {CA + CB} \right)_{{\rm{max}}}} = 2\sqrt 2 R\).