Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, điểm C di chuyển trên nửa đường tròn, khi đó tích hai dây cung CA.CB lớn nhất là bao nhiêu?

Chọn C

Điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \).

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(ACB\), ta có \(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2}\)

\( \Rightarrow 4{{\rm{R}}^2} = C{A^2} + C{B^2} \ge 2CA.CB \Rightarrow CA.CB \le 2{{\rm{R}}^2}\).

Dấu \(' = '\) xảy ra khi \(CA = CB\) hay \(C\) là điểm chính giữa của cung AB.

Suy ra \({\left( {CA.CB} \right)_{{\rm{max}}}} = 2{R^2}\).