Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính

a) Gọi I là trung điểm của HB, suy ra: \(HI = IB = \frac{{HB}}{2}\)

Xét nửa đường tròn (O), đường kính AB có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\Delta CHB\) vuông tại C, mà CI là đường trung tuyến nên:

\(IC = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (1)

Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính AB có: \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) (HK⊥KB)

Suy ra \(\Delta KHB\) vuông tại K, mà KI là đường trung tuyến nên:

\(IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(IC = IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\)

Suy ra bốn điểm C, B, H, K cùng thuộc một đường tròn \(\left( {I;\frac{{HB}}{2}} \right)\).

b) Có \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn trong (O))

Và \(\widehat {HCK} = \widehat {HBK}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HK trong (I))

hay \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\)

Suy ra: \(\widehat {MCA} = \widehat {ACK}\). Vậy CA là phân giác của \(\widehat {MCK}\).

c) Theo giả thiết: \(\frac{{AP.MB}}{{MA}} = R\). Suy ra:\(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\)

Xét \(\Delta PAO\) và \(\Delta AMB\) có: \(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\); \(\widehat {PAO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)

Suy ra: (c-g-c)

Suy ra: \(\widehat {POA} = \widehat {MBA}\) (hai góc tương ứng). Suy ra: \[OP{\rm{ // B}}Q\]

Xét \(\Delta ABQ\) có: OP // BQ, mà O là trung điểm của AB nên P là trung điểm của \[AQ\] hay AP = QP.

Gọi F là giao điểm của BP và HK.

Xét \(\Delta ABP\)có FK//AP nên \[\frac{{FK}}{{AP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\];

Xét \(\Delta QBP\)có FH//QP nên \[\frac{{FH}}{{QP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]

Từ đó HF = FK suy ra PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.