Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2a. A là điểm trên nửa đường tròn,

a) Ta có: AOB^=2ACB^(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)

⇒AOB^=2α

b) Ta có BAC^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Chứng minh tương tự ⇒ADB^=900

Ta có: A^=E^=F^=900⇒AED​F là hình chữ nhật ⇒EAD^=AEF^

Mà EAD^=ACB^ (cùng phụ ABD^)⇒AEF^=ACB^

⇒BE​FC là tứ giác nội tiếp

c) SquatAB⏜=πR2.2α3600=πR2α1800(dvdt)

ΔADO vuông tại D ⇒sinO=ADAO⇒AD=R.sin2α

⇔SAOB=12OB.AD=12R.Rsin2α=R2sin2α2

d) Gọi P là tâm đường tròn đường kính AB

Xét ΔPAI và ΔPDI có: PAI^=PDI^=900, PA=PD, PI chung

⇒ΔPAI=ΔPDI (ch−cgv)⇒DI=AI (1)

ΔADC vuông tại D do ADB^=900−cmt mà AI=DI⇒ΔADI cân tại I.

⇒DAI^=ADI^⇒900−DAI^=900−ADI^⇒IDC^=ICD^⇒ΔDIC cân tại I⇒DI=IC (2)

Từ (1) và (2) ⇒AI=IC⇒DI là đường trung tuyến ΔADC

Khi DI // EF ⇒EFD^=FDI^ (So le trong)

Mà ta có ADF^=DAB^=ICD^=IDC^=α

Mà EFD^=DAB^ (Tính chất hình chữ nhật)

⇒ADF^=FDI^=IDC^=α mà ADF^+FDI^+IDC^=ADC^=900

⇒3α=900⇒α=300