Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của cung AB. M là điểm bất kì trên cung BC, kẻ CH vuông góc với AM tại M. a) Chứng minh tam giác HCM vuông cân và OH là tia phâ

80/120

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của cung AB. M là điểm bất kì trên cung BC, kẻ CH vuông góc với AM tại M.

a) Chứng minh tam giác HCM vuông cân và OH là tia phân giác của góc COM.

b) Gọi I là giao điểm của OH và BC; D là giao điểm của MI với nửa đường tròn (O). Chứng minh MC // BD.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của cung AB. M là điểm bất kì trên cung BC, kẻ CH vuông góc với AM tại M. a) Chứng minh tam giác HCM vuông cân và OH là tia phân giác của góc COM. (ảnh 1)

a) C là điểm chính giữa của cung AB nên sđsđ.

Do đó, \(\widehat {{\rm{AOC}}} = \widehat {{\rm{BOC}}} = 90^\circ .\)

Xét (O) có \(\widehat {{\rm{AMC}}}\) là góc nội tiếp chắn cung AC nên \(\widehat {{\rm{AMC}}} = \)\(\frac{1}{2}\) sđ45^o.

DHMC vuông tại H có \(\widehat {{\rm{HMC}}} = \) 45^o nên DHCM vuông cân tại H nên HM = CH.

Xét DOHC và DOHM có: OH chung, HC = HM, OC = OM. Suy ra DOHC = DOHM (c – c – c). Suy ra \(\widehat {{\rm{HOC}}} = \widehat {{\rm{HOM}}}\). Suy ra OH là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{COM}}}\).

b) DOCM có OC = OM nên DOCM cân tại O. Do đó, OI là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của tam giác đó. Suy ra OH là đường trung trực của CM. Suy ra IM = IC. Do đó, DICM cân tại I. Suy ra: \(\widehat {{\rm{BCM}}} = \widehat {{\rm{CMI}}}\).

Xét (O) có \(\widehat {{\rm{BCM}}},\;\,\widehat {{\rm{BDM}}}\) là các góc nội tiếp chắn cung BM nên \(\widehat {{\rm{BCM}}} = \widehat {{\rm{BDM}}}\).

Mà \(\widehat {{\rm{BCM}}} = \widehat {{\rm{CMI}}}\) nên \(\widehat {{\rm{BDM}}} = \widehat {{\rm{CMI}}}\). Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên BD // CM.