Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C (C khác A và B). Trên cung nhỏ CB của nửa đường tròn (O) lấy điểm D (D khác C và B). Kẻ CH⊥AB tại H, CK⊥AD tại K. G

11/11

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C (C khác A và B). Trên cung nhỏ CB của nửa đường tròn (O) lấy điểm D (D khác C và B). Kẻ $C H ⊥ A B$ tại H, $C K ⊥ A D$ tại K. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng CH và AD.

(a) Chứng minh tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn

(b) Chứng minh $\hat{K C H} = \hat{D C B}$ và $A I . A D = A H . A B$

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C (C khác A và B). Trên cung nhỏ CB của nửa đường tròn (O) lấy điểm D (D khác C và B). Kẻ CH⊥AB tại H, CK⊥AD tại K. G (ảnh 1)

a) Gọi E là trung điểm của AC

Xét $Δ A K C$ vuông tại $K$ có $E K$ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $A C$ , ta có $E K = E C = E A = \frac{A C}{2}$ (1)

Xét $Δ A H C$ vuông tại $H$ có $E H$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$, ta có

$EH = EC = EA = \frac{{AC}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EA = EH = EK = EC$

Suy ra 4 điểm $A,H,K,C$cùng nằm trên đường tròn tâm $E$, đường kính $AC$

Vậy tứ giác $AHKC$ nội tiếp đường tròn tâm $E$, đường kính $AC$

b) Xét đường tròn (E) chỉ ra được $\widehat {KCH} = \widehat {KAH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KH) hay $\widehat {KCH} = \widehat {DAB}$ (3)

Xét nửa đường tròn (O) chỉ ra được $\widehat {DCB} = \widehat {DAB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\widehat {KCH} = \widehat {DCB}$

Xét nửa đường tròn (O) chỉ ra được $\widehat {ADB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ADB} = 90^\circ $Chứng minh được $\Delta AIH$∽$\Delta ABD$(g.g)

Suy ra: $\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AD}}$ hay $AI.AD = AH.AB$

c) Kéo dài tia CP cắt AB tại M

Chứng minh được I là trực tâm của $\Delta ACM$ suy ra $MI \bot AC$

Chứng minh được $MI$//$BC$

Xét $\Delta CHB$ có $I \in CH,M \in HB$ và $MI$//$BC$ suy ra: $\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HM}}{{HB}}$ (5)

(Theo định lí Thalès)

Xét $\Delta HDB$ có $P \in HD,M \in HB$ và $MP$//$DB$ suy ra: $\frac{{HD}}{{HP}} = \frac{{HM}}{{HB}}$ (6)

(Theo định lí Thalès)

Từ (5) và (6) suy ra $\frac{{HI}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HP}}$

Sử dụng định lí Thalès đảo vào $\Delta HCD$ suy ra: $IP$//$CD$