Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lầ
15/16
Cho nửa đường tròn 
đường kính 
. Qua điểm 
thuộc nửa đường tròn (khác với 
) kẻ tiếp tuyến 
với nửa đường tròn. Từ điểm 
và 
kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \(M\) và \(N\). Từ hạ 
vuông góc với tại 
.
(a) Chứng minh bốn điểm 
cùng thuộc một đường tròn.
(b) Khi 
cố định, chứng minh rằng: 
và xác định vị trí của trên nửa đường tròn 
để 
lớn nhất.
a) Xét tứ giác 
, có:
thuộc đường tròn đường kính 
thuộc đường tròn đường kính 
.
Do đó bốn điểm thuộc đường tròn đường kính 
.
Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Xét 
có 
là đường trung tuyến ứng với cạnh 
và 
Suy ra vuông tại \[C.\]
Xét 
và 
có 
(vì 
).
Xét tam giác vuông 
có: 
nên 
.
Suy ra: 
(cùng phụ 
).
Suy ra: 
Do đó: 
, suy ra: 
.
Vì \(AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\) nên \[AM\,{\rm{//}}\,OC\] suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\).
Ta có 
suy ra 
cân tại O
Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) nên \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)
Xét 
và 
có
là cạnh chung
Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra 
Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra 
Suy ra 
Ta có 
Suy ra \(AM.BN \le {R^2}\) nên \[Max\left( {AM \cdot BN} \right) = {R^2}\,\]
Khi 
vuông cân tại 
.
Khi đó là điểm chính giữa cung AB.
Vậy lớn nhất khi là điểm chính giữa cung 
.