Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CB bằng cung CA, D là một điểm tùy ý trên cung CB (D khác C và B). Cá

a. Ta có CAB^=CBA^(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Ta lại có ACB^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra tam giác CAB là tam giác vuông cân và CAB^= 45°

Xét tam giác ABE vuông tại B (Bx là tiếp tuyến của (O)) có EAB^= 45°

Dẫn đến AEB^ = 180° − ABE^−EAB^= 180 – 90 – 45 = 45° = EAB^

Suy ra tam giác ABE là tam giác vuông cân.

b. Xét ∆ FDB và ∆ FBA có:

AFB^là góc chung

FBA^= ADB^ = 90° (ADB^ là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn và Bx là tiếp tuyến của (O))

Suy ra ∆ FDB  ∆ FBA (g.g)

Từ đó suy ra FBFA=FDFB⇔ FB² = FD.FA (đpcm)

c. Từ câu b ta suy ra được: Trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của nó trên cạnh huyền nhân với cạnh huyền.

Xét tam giác ABF vuông tại B đường cao BD ta có: AB² = AD.AF

 ABE vuông tại B đường cao BC ta có: AB² = AC.AE

Suy ra AD.AF = AC.AE ⇔ADAE=ACAF

Xét ∆ ACD và ∆ AFE có:

EAF^là góc chung

ADAE=ACAF (chứng minh trên)

Suy ra ∆ ACD  ∆ AFE (c.g.c)

Suy ra CDA^=CEF^ suy ra tứ giác CDFE là tứ giác nội tiếp.