Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A, B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

12/12

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M \[ \ne \] A, B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

(a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp;

(b) Chứng minh MA // OD;

(c) Gọi P là giao điểm của CD và AB. Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A, B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D. (ảnh 1)

a) Tam giác ACO vuông tại A nên \[\Delta {\rm{ACO}}\] nội tiếp đường tròn đường kính CO. Do đó, 3 điểm A, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính CO (1)

Tam giác MCO vuông tại M nên \[\Delta {\rm{MCO}}\] nội tiếp đường tròn đường kính CO. Do đó, 3 điểm M, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính CO (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn đường kính CO.

Do đó tứ giác ACMN nội tiếp

b) Ta có: MD = BD; MO = BO nên OD là đường trung trực của MB.

Khi đó, \[{\rm{OD}} \bot {\rm{MB}}\] (1)

HS chứng minh được \[{\rm{AM}} \bot {\rm{MB}}\] (2)

Suy ra AM // OD (vì cùng vuông góc với MB) (đpcm).

c) Gọi G là giao điểm của PF và BD, cần chứng minh G trùng E.

Dựa vào AC // BD, chứng minh được \[\frac{{{\rm{FC}}}}{{{\rm{DG}}}} = \frac{{{\rm{PC}}}}{{{\rm{PD}}}};\,\,\frac{{{\rm{PC}}}}{{{\rm{PD}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{BD}}}}\].

Chứng minh được CA = CM = CF; DB = DM = DE.

Do đó \[\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{DE}}}}\] suy ra DE = DG hay G trùng E.