Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.

 

a) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CO. Xét tam giác CMO vuông tại M và tam giác CAO vuông tại A, ta có: HC = HO =HM và HC = HO =HA

Do đó HC =HO =HA =HM. Vậy bốn điểm O, A, C, M cùng thuộc một đường tròn

Hay tứ giác OACM nội tiếp.

b)     b)Xét tam giác PAC và tam giác PMO, có: \(\widehat {MPO}\)chung và \(\widehat {PAC} = \widehat {PMO} = {90^0}\)

Nên \(\Delta PAC\) và \(\Delta PMO\)đồng dạng

Nên \(\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{PM}}{{PO}}\)  Suy ra PA.PO=PC.PM

c) Chứng minh được CA = CM = CF; DB = DM = DE

Gọi G là giao điểm của PF và BD, cần chứng minh G trùng E.

Dựa vào AC//BD chứng minh được  \[\frac{{{\rm{FC}}}}{{{\rm{DG}}}} = \frac{{PC}}{{PD}};\,\,\,\frac{{PC}}{{PD}} = \frac{{AC}}{{BD}};\,\,\,\,\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CF}}{{DE}}\]

Suy ra DE = DG mà G và E đều thuộc tia đối của tia DB

Do đó G trùng với E.

 Vậy ba điểm E; F; P thẳng hàng.