Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Từ một điểm khác A và B trên nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn và gọi E;F theo thứ tự là chân các

51/51

Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = 2R$. Từ một điểm khác $A$ và $B$ trên nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn và gọi $E;F$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A,B$ đến tiếp tuyến đó. Tứ giác $ABFE$ có diện tích lớn nhất bằng

${R^2}$.

$2{R^2}$.

$4{R^2}$.

$6{R^2}$.

Giải thích

Chọn B

$Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = 2R$. Từ một điểm khác $A$ và $B$ trên nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn và gọi $E;F$ theo thứ tự là chân các đư (ảnh 1)$

Gọi $M$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $EF$ với nửa đường tròn $\left( O \right)$.

Ta có: $AF \bot EF;OM \bot EF;BF \bot EF$ nên \[AE\parallel OM\parallel BF\].

Mà $O$ là trung điểm của $AB$ nên $OM$ là đường trung bình của hình thang $ABFE$.

Do đó: $AE + BF = 2OM$.

Xét hình thang $ABFE$ vuông tại $E$ và $F$ ta có:

${S_{ABFE}} = \frac{{\left( {AE + BF} \right)EF}}{2}$$ = \frac{{2OM.EF}}{2} = OM.EF \le OM.AB = R.2R = 2{R^2}$.

Dấu “$ = $” xảy ra khi $AB = EF$, mà $AB\parallel EF$ nên hình thang $ABFE$ là hình chữ nhật.

Hay điểm $M$ nằm chính giữa cung $AB$.