Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, lấy điểm C thuộc nửa đường tròn. Kẻ CH ⟂ AB tại H, gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC. a) Chứng minh tứ giác CMHN nội tiếp đường trò

7/9

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 2R,$ lấy điểm $C$ thuộc nửa đường tròn. Kẻ $CH \bot AB$ tại $H,$ gọi$M,N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AC,BC.$

a) Chứng minh tứ giác $CMHN$ nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ các điểm $I,\;K$ lần lượt là trung điểm của $AH,\;HB.$ Gọi $P$ là giao điểm $IN$ và $KM.$

Chứng minh và $HP \bot MN.$

c) Xác định vị trí điểm $C$ trên nửa đường tròn $(O)$ để $M{K^2} + N{I^2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Tứ giác $CMHN$nội tiếp đường tròn

$Dấu “=” xảy ra khi $AH = BH.$ Khi đó $C$ là điểm chính giữa cung . (ảnh 1)$

\[\Delta CMH\] vuông tại \[M\] nên \[C,M,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

\[\Delta CNH\] vuông tại \[N\] nên \[C,N,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

Suy ra bốn điểm $C,\;M,\;H,\;N$ cùng thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

Vậy tứ giác $CMHN$ nội tiếp đường tròn.

Chứng minh $Δ N M C ∽ Δ A B C$ và $HP \bot MN$.

$Dấu “=” xảy ra khi $AH = BH.$ Khi đó $C$ là điểm chính giữa cung . (ảnh 2)$

Vì tứ giác $CMHN$ nội tiếp đường tròn nên $\widehat {CMN} = \widehat {CHN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{⏜}{C N})$

Mà $\widehat {CHN} = \widehat {CBH}$ (cùng phụ $\widehat {HCB}$ )

Suy ra $\widehat {CMN} = \widehat {CBA}\,\,( = \widehat {CHN})$

Từ đó suy ra $Δ N M C ∽ Δ A B C (g . g)$

Chứng minh $HP \bot MN$

Tam giác $AMH$ vuông tại $M$có $MI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AH$. Suy ra $MI = IA$

$ \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {AMI}.$ Mà $\widehat {CMN} = \widehat {CBA},\widehat {\,CBA} + \widehat {MAI} = {90^{\rm{o}}}$

$ \Rightarrow \widehat {IMN} = {90^{\rm{o}}}$ hay $IM \bot MN.$ Tương tự, $NK \bot MN.$ Do đó$MI\,{\rm{// }}NK.$

Vì $MI\,{\rm{//}}\,NK \Rightarrow \frac{{MI}}{{NK}} = \frac{{MP}}{{PK}},$ mà $MI = IH,NK = KH$$ \Rightarrow \frac{{MP}}{{PK}} = \frac{{IH}}{{HK}} \Rightarrow HP\,{\rm{//}}\,MI$ (Thalès đảo)

Ta có $MI \bot MN,MI\,{\rm{//}}\,HP \Rightarrow HP \bot MN$

c) Xác định vị trí điểm $C$ để $M{K^2} + N{I^2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có tam giác $MNK$ vuông tại $N$, áp dụng định lý Pythagore ta có: $M{K^2} = M{N^2} + N{K^2}$

Tam giác $MNI$ vuông tại $M$, áp dụng định lý Pythagore ta có: $N{I^2} = M{N^2} + M{I^2}$

Suy ra $M{K^2} + N{I^2} = 2M{N^2} + M{I^2} + N{K^2}$

$\begin{array}{l} = 2C{H^2} + \frac{{A{H^2}}}{4} + \frac{{H{B^2}}}{4} = 2AH.BH + \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{4}\\ = {\left( {\frac{{AH}}{2} + \frac{{BH}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}AH.BH = \frac{{A{B^2}}}{4} + \frac{3}{2}AH.BH\end{array}$

$ \le {\left( {2R} \right)^2} + \frac{3}{2}\frac{{{{\left( {AH + BH} \right)}^2}}}{4} = \frac{{5{R^2}}}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $AH = BH.$ Khi đó $C$ là điểm chính giữa cung $\overset{⏜}{A B}$ .