Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, lấy điểm C thuộc nửa đường tròn. Kẻ CH ⟂ AB tại H, gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC. a) Chứng minh tứ giác CMHN nội tiếp đường trò

7/9

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 2R,$ lấy điểm $C$ thuộc nửa đường tròn. Kẻ $CH \bot AB$ tại $H,$ gọi$M,N$lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AC,BC.$

a) Chứng minh tứ giác $CMHN$nội tiếp đường tròn.

b) Vẽcác điểm $I,\;K$ lần lượt là trung điểm của $AH,\;HB.$Gọi $P$ là giao điểm $IN$ và $KM.$

Chứng minh và $HP \bot MN.$

c) Xác định vị trí điểm $C$ trên nửa đường tròn $(O)$ để $M{K^2} + N{I^2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

2a (1,0đ)	a) Tứ giác $CMHN$ nội tiếp đường tròn
	$Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kín (ảnh 1)$	HS vẽ hình đúng hết câu a.	0,25
		\[\Delta CMH\] vuông tại \[M\] nên \[C,M,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]	0,25
		\[\Delta CNH\] vuông tại \[N\] nên \[C,N,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]	0,25
		Suy ra bốn điểm $C,\;M,\;H,\;N$ cùng thuộc đường tròn đường kính \[CH.\] Vậy tứ giác $CMHN$ nội tiếp đường tròn.	0,25
2b (1,5đ)	b) Chứng minh và $HP \bot MN$ $Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kín (ảnh 2)$
	Chứng minh
	Chứng minh được $\widehat {CMN} = \widehat {CBA}\,\,( = \widehat {CHN})$		0,5
	Từ đó suy ra		0,25
	Chứng minh $HP \bot MN$
	Chứng minh $MI = IA$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) $ \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {AMI}.$ Mà $\widehat {CMN} = \widehat {CBA},\widehat {\,CBA} + \widehat {MAI} = {90^{\rm{o}}}$ $ \Rightarrow \widehat {IMN} = {90^{\rm{o}}}$ hay $IM \bot MN.$ Tương tự, $NK \bot MN.$ Do đó$MI\,{\rm{// }}NK.$		0,25
	Vì $MI\,{\rm{//}}\,NK \Rightarrow \frac{{MI}}{{NK}} = \frac{{MP}}{{PK}},$ mà $MI = IH,NK = KH$$ \Rightarrow \frac{{MP}}{{PK}} = \frac{{IH}}{{HK}} \Rightarrow HP\,{\rm{//}}\,MI$ (Thalès đảo)		0,25
	Ta có $MI \bot MN,MI\,{\rm{//}}\,HP \Rightarrow HP \bot MN$		0,25
2c (0,5đ)	c) Xác định vị trí điểm $C$ để $M{K^2} + N{I^2}$ đạt giá trị lớn nhất.
	Chỉ ra $M{K^2} + N{I^2} = M{N^2} + N{K^2} + M{N^2} + M{I^2} = 2M{N^2} + M{I^2} + N{K^2}$ $\begin{array}{l} = 2C{H^2} + \frac{{A{H^2}}}{4} + \frac{{H{B^2}}}{4} = 2AH.BH + \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{4}\\ = {\left( {\frac{{AH}}{2} + \frac{{BH}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}AH.BH = \frac{{A{B^2}}}{4} + \frac{3}{2}AH.BH\end{array}$		0,25
	Chứng minh $AH.BH \le \frac{{{{(AH + BH)}^2}}}{4} = {R^2}$$ \Rightarrow M{K^2} + N{I^2} \le \frac{{5{R^2}}}{2}$ Dấu “=” xảy ra khi $AH = BH.$ Khi đó $C$là điểm chính giữa cung		0,25

2a (1,0đ)	a) Tứ giác \(CMHN\) nội tiếp đường tròn
	$Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kín (ảnh 1)$	HS vẽ hình đúng hết câu a.	0,25
		\[\Delta CMH\] vuông tại \[M\] nên \[C,M,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]	0,25
		\[\Delta CNH\] vuông tại \[N\] nên \[C,N,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]	0,25
		Suy ra bốn điểm \(C,\;M,\;H,\;N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[CH.\] Vậy tứ giác \(CMHN\) nội tiếp đường tròn.	0,25
2b (1,5đ)	b) Chứng minh và \(HP \bot MN\) $Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kín (ảnh 2)$
	Chứng minh
	Chứng minh được \(\widehat {CMN} = \widehat {CBA}\,\,( = \widehat {CHN})\)		0,5
	Từ đó suy ra		0,25
	Chứng minh \(HP \bot MN\)
	Chứng minh \(MI = IA\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {AMI}.\) Mà \(\widehat {CMN} = \widehat {CBA},\widehat {\,CBA} + \widehat {MAI} = {90^{\rm{o}}}\) \( \Rightarrow \widehat {IMN} = {90^{\rm{o}}}\) hay \(IM \bot MN.\) Tương tự, \(NK \bot MN.\) Do đó\(MI\,{\rm{// }}NK.\)		0,25
	Vì \(MI\,{\rm{//}}\,NK \Rightarrow \frac{{MI}}{{NK}} = \frac{{MP}}{{PK}},\) mà \(MI = IH,NK = KH\)\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{PK}} = \frac{{IH}}{{HK}} \Rightarrow HP\,{\rm{//}}\,MI\) (Thalès đảo)		0,25
	Ta có \(MI \bot MN,MI\,{\rm{//}}\,HP \Rightarrow HP \bot MN\)		0,25
2c (0,5đ)	c) Xác định vị trí điểm \(C\) để \(M{K^2} + N{I^2}\) đạt giá trị lớn nhất.
	Chỉ ra \(M{K^2} + N{I^2} = M{N^2} + N{K^2} + M{N^2} + M{I^2} = 2M{N^2} + M{I^2} + N{K^2}\) \(\begin{array}{l} = 2C{H^2} + \frac{{A{H^2}}}{4} + \frac{{H{B^2}}}{4} = 2AH.BH + \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{4}\\ = {\left( {\frac{{AH}}{2} + \frac{{BH}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}AH.BH = \frac{{A{B^2}}}{4} + \frac{3}{2}AH.BH\end{array}\)		0,25
	Chứng minh \(AH.BH \le \frac{{{{(AH + BH)}^2}}}{4} = {R^2}\)\( \Rightarrow M{K^2} + N{I^2} \le \frac{{5{R^2}}}{2}\) Dấu “=” xảy ra khi \(AH = BH.\) Khi đó \(C\)là điểm chính giữa cung		0,25