Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M.

7/9

Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB = 2R$. Gọi $C$ là điểm cố định thuộc đoạn thẳng $OB$ ($C$ khác $O$ và $B$). Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại điểm $C$, cắt nửa đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm $M$. Trên cung nhỏ $MB$ lấy điểm $N$ bất kì ($N$ khác $M$ và $B$), tia $AN$ cắt đường thẳng $d$ tại điểm $F$, tia $BN$ cắt đường thẳng $d$ tại điểm $E$. Đường thẳng $AE$ cắt nửa đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm $D$ ($D$ khác $A$).

a) Chứng minh: bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: ba điểm $B,\;F,\;D$ thẳng hàng và $AF \cdot AN + BF \cdot BD = 4{R^2}$.

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$. Chứng minh rằng điểm $I$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $N$ thay đổi trên cung nhỏ $MB$($N$ khác $M$ và $B$).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$, đườn (ảnh 1)$

Có $D \in $ đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB\;$(giả thiết) nên $\widehat {ADB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $\widehat {EDB} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \Delta EDB$ vuông tại $D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EB$ (1)

Có $d \bot AB$ tại $C$, $E \in d$ (giả thiết) nên $\widehat {ECB} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \Delta CEB$ vuông tại $C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EB$ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow E,C,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EB$

b) Có $N \in $ đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB\;$(giả thiết) nên $\widehat {ANB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra$\;AN$ vuông góc với $EB$ tại $N$

Tam giác $AEB$ có:

$EC$ là đường cao (vì $EC$ vuông góc với $AB$ tại $C$)

$AN$ là đường cao (vì $AN$ vuông góc với $EB$ tại $N$)

$BD$ là đường cao (vì $BD$ vuông góc với $AE$ tại $D$)

Suy ra $AN,EC,\;BD$ đồng quy tại một điểm (tính chất)

Mà $AN$ cắt $EC$ tại $F$ (giả thiết)

Suy ra $BD$ đi qua $F$ hay ba điểm $B,\;F,\;D$ thẳng hàng.

Xét tam giác $AFC$ và tam giác $ABN$ có:

$\widehat {ACF\;} = \widehat {ANB\;} = 90^\circ $ (chứng minh trên)

$\widehat {NAB}$ chung

Suy ra $Δ A F C ∽ Δ A B N$ (góc – góc)

Suy ra $\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AN}}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra $AF.AN = AB.AC$ (3)

Xét tam giác $BCF$ và tam giác $BDA$ có:

$\widehat {BCF\;} = \widehat {BDA\;} = 90^\circ $ (chứng minh trên)

$\widehat {DBA}$ chung

Suy ra $Δ B C F ∽ Δ B D A$ (góc – góc)

Suy ra $\frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{BF}}{{BA}}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra $BC.BA = BD.BF$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $AF.AN + BD.BF = AB.AC + BC.BA = AB\left( {AC + BC} \right) = AB.AB = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}$

$Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$, đườn (ảnh 2)$

Gọi $G$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $AB$

Suy ra tứ giác $AEFG$ nội tiếp đường tròn $\left( I \right)$

Suy ra $\widehat {AEF} + \widehat {AGF} = 180^\circ $ (tính chất)

Mà $\widehat {AGF} + \widehat {FGB} = 180^\circ $ (kề bù)

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {FGB}$

Có $E,C,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EB$

Nên tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $EB$

Suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {FBG}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $DC$)

Mà $\widehat {AEF} = \widehat {FGB}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat {FGB} = \widehat {FBG}$

Suy ra tam giác $FGB$ cân tại $F$

Mà $FC$ là đường cao

Suy ra $FC$ cũng là đường trung tuyến

Suy ra $C$ là trung điểm $GB$

Mà $A,B,C$ cố định nên $G$ cố định

Tứ giác $AEFG$ nội tiếp đường tròn $\left( I \right)$ suy ra $I$ thuộc trung trực của $AG$

Mà $A,G$ cố định

Vậy điểm $I$ luôn nằm trên đường trung trực của $AG$ cố định khi $N$ thay đổi trên cung nhỏ $MB$($N$ khác $M$ và $B$).