Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho C khác A và AC < CB. Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD vuông. Gọi E là giao điểm của AD và B
a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(\widehat {ECF} = {90^o}\) (kề bù với \(\widehat {ACB}\)) và \(\widehat {EDF} = {90^o}\) (kề bù với \(\widehat {ADB}\))
Suy ra \(\Delta ECF\)vuông tại \(C\) và \(\Delta EDF\)vuông tại \(D\)
Suy ra \(\Delta ECF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EF\)và \(\Delta EDF\)nội tiếp đường tròn đường kính \(EF\)
Hay ba điểm \(E,C,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EF\)và ba điểm \(E,D,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính\(EF\).
Suy ra bốn điểm \(E,C,F,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính\(EF\).
Hay tứ giác \(ECFD\) nội tiếp.
b) + Xét tam giác \(FCB\)và tam giác \(FDA\)có : \(\widehat {FCB} = \widehat {FDA} = {90^o}\), \[\widehat {AFB}\]chung
Suy ra
+ Xét tam giác \(FCE\)vuông tại \(C\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(EF\) (gt)
Nên \(IF = IC = IE = \frac{1}{2}EF\)
Þ \(\Delta FIC\)cân tại \(I\)Þ \(\widehat {ICF} = \widehat {IFC}\)
+ Vì tứ giác \(ECFD\) nội tiếp nên \(\widehat {CFE} = \widehat {CDE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\))
Hay \(\widehat {CFI} = \widehat {CDA} = \widehat {ICF}\)
Mà \(\widehat {CDA} = \widehat {CBA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CA\) trong đường tròn \(\left( O \right)\))
Suy ra \(\widehat {ICF} = \widehat {CBA}\) hay \(\widehat {ICF} = \widehat {CBO}\)
Mà \(\widehat {CBO} = \widehat {BCO}\) (vì \(OC = OB = R\) nên \(\Delta OCB\) cân tại \(O\))
Nên \(\widehat {ICF} = \widehat {BCO}\)
Mà \(\widehat {ICF} + \widehat {ICB} = \widehat {FCB} = {90^o}\)
Nên \(\widehat {BCO} + \widehat {ICB} = {90^o} \Rightarrow \widehat {ICO} = {90^o}\) hay \(IC \bot CO\)mà \(CO = R\)
Nên \(IC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).
c) + Chứng minh tương tự có \(ID\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) Þ \(\widehat {IDO} = {90^o}\)
+ Xét tứ giác \(ICOD\) có \(\widehat {ICO} = \widehat {COD} = \widehat {IDO} = {90^o}\) nên \(ICOD\)là hình chữ nhật
Mà \(OC = OD = R\) nên \(ICOD\)là hình vuông \( \Rightarrow CI = CO\)
+ Xét tam giác \(ICO\) vuông cân tại \(C\) có \(I{O^2} = C{I^2} + C{O^2} \Rightarrow I{O^2} = 2{R^2} \Rightarrow IO = R\sqrt 2 \)
+ Gọi \(M\)là điểm trên cung \(AB\) (không chứa điểm \(C\)) sao cho \(OM \bot AB\)
Ta có \(E\) là giao điểm của hai đường cao \(BC,\,AD\) trong tam giác \(FAB\) nên E là trực tâm của tam giác \(FAB\). Suy ra \(IE \bot AB\)
Suy ra \(OM//IE\)
Mà \(IE = IC = CO = R\) hay \(OM = IE = R\)
Nên tứ giác \(OIEM\) là hình bình hành.
Suy ra \(ME = OI = R\sqrt 2 \)
Vậy khi điểm \(C\) thay đổi thoả mãn điều kiện bài toán thì điểm \(E\) di chuyển trên một đường tròn cố định là đường tròn \(\left( {M,R\sqrt 2 } \right)\).