Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2 cm, lấy điểm E thuộc nửa đường tròn đó (E khác A và B). Vẽ tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn, tia AE cắt Bx tại C. Khi 2AE + AC đạt giá trị nhỏ nhất th

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 45

Vì E thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OE = OA = OB.

DABE có EO là đường trung tuyến và EO = \(\frac{1}{2}\)AB nên DABE vuông tại E.

Suy ra \(\widehat {{\rm{AEB}}} = 90^\circ \).

Vì Bx là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên AB ^ BC tại B.

Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \).

DAEB và DABC có: \(\widehat {{\rm{AEB}}} = \widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {\rm{A}}\) nên .

Suy ra \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\) nên AE. AC = AB² = 4.

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: \(2{\rm{AE}} + {\rm{AC}} \ge 2\sqrt {2{\rm{AE}} \cdot {\rm{AC}}} = 2\sqrt {2 \cdot {\rm{4}}} = 4\sqrt 2 \) (cm).

Dấu “=” xảy ra khi 2AE = AC hay E là trung điểm của AC.

Mà BE là đường cao của DABC.

Khi đó, DABC vuông cân tại B. Suy ra \(\widehat {{\rm{ACB}}} = 45^\circ .\)

Vậy \(\widehat {{\rm{ACB}}} = 45^\circ \) thì 2AE + AC đạt giá trị nhỏ nhất.