Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn \(\frac{{AB}}{2}.\)

(H.5.9)

Gọi H là chân đường cao hạ từ M xuống AB.

Khi đó, độ dài đoạn MH là khoảng cách từ M đến AB.

Gọi M' là điểm đối xứng với M qua AB. Khi đó, H là trung điểm của MM', tức là MH = HM'.

Mặt khác, do AB là đường kính của đường tròn nên M' thuộc đường tròn (O).

Suy ra MM' là dây cung của đường tròn.

Do đó \[MM' \le AB,\] hay 2MH ≤ AB, suy ra \(MH \le \frac{{AB}}{2}.\)

Vậy khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn \(\frac{{AB}}{2}.\)